初等数学到微积分 书名:未知 作者:未知

这本书比较有趣,例题取材我国革命社会背景,经常提到毛泽东的智慧,将其与数学思想有机的联系在一起,互相佐证.

正数和负数

零不是正数也不是负数

有理数包含整数和分数,例如 0,1,2,3, 1/3, -3/4 分数是有限小数和无限循环小数,如:1/3=0.333.. 1/4=0.25

无理数是无限不循环小数,如圆周率 3.14159.... ,(不可能写成分数的形式,分数小数位都是循环或者有限的)

数轴

实数可表示在一条线上,线上标有0,右边为正数左边为负数

加减法

减去一个数,等于加上这个数的相反数

一切矛盾都依一定条件向它们的反面转化 (5页)

因式分解

十字相乘法

对于2次3项式,将2次项系数分成2个因数(a1,a2),常数项分成2个因数(c1,c2), 令 a1*c2 + a2*c1 = b(1次项系数) (34页)

那么 ax^2 + bx + c = (a1x + c1)(a2x + c2)

例: 2x^2 + 7x + 6 = (x+2)*(2x+3)

2次项为2,常数项为6,1次项为7. 按上述办法,发现当 2(a) = 1(a1) * 2(a2) , 6(c) = 2(c1) * 3(c2) 时, 1*2 + 2*3=7

所以的到 2x^2 + 7x + 6 = (1x + 2)(2x + 3)

指数和对数

负指数和分式指数

3^-3 = 1/3^3 负指数是正指数的倒数

3^2/3 = 3√3^2 可以简单记为,分指数的分母是开方数,分子是乘方数

x^0=1 零次方值为1 ,0的负指数没有意义,因为 0^-2 = 1/0^2 但是分母不能是0,所以不成立

对数运算法则

1.积的对数

两个正数之积的对数等于这两个因数的对数和.对于多项也成立 (79页)

loga(N1 * N2) = logaN1+ logaN2 (N1>0,N2>0)

loga(N1 * N2 * ..* Nn) = logaN1+ logaN2 + ... +logaNn

2.商的对数

两个正数之商的对数等于被除数的对数减去除数的对数

loga(N1 / N2) = logaN1 - logaN2 (N1>0,N2>0)

3.幂的对数

logaN^m = m * logaN (N>0)

logaN^n/m = n/m * logaN (N>0)

常用对数: 10为底 logN 记为 lgN

常用对数首数求法 (81页)

自然对数: 以e为底的对数 (e=2.718281828459045) 例:logeN 记为 InN (86页)

自然对数与常用对数换算: InN = 2.303lgN

简单函数及其图像

变量和函数

毛泽东:无论什么事物的运动都采取两种状态,相对地静止和显著地变动的状态.(96页)(这不是牛顿惯性定率吗,惊讶啊)

数学中的函数关系就是反映变量之间一种最基本的最重要的依赖关系.

函数定义的三个内容:定义域(变化范围),函数关系(因自变量依赖关系),函数值(因变量对应值)

表示方法: 公式法 , 列表法 , 图像法

基本初等函数: 幂函数y=x^n , 指数函数y=n^x , 对数函数 y=lognX, 三角函数 , 反三角函数

平面几何

角可以看成由一点引出两条射线组成的图形.角有顶点和边.∠AOB,其中,O是顶点,AB是两边上的点.

角也可以看成一条射线,围绕端点旋转而形成的.


互补: A+B=180° , 互余: A+B=90°

垂线和平行线

平面内两条直线相交成直角,则称为互相垂直.互为垂线,交点为垂足.

平面内永不相交的两条直线称为平行线.

三角形

勾股定理在国外叫毕达哥拉斯定理,严格的讲毕达哥拉斯证明了这个定理,勾股文献记载了一些勾股数例子.并没有做出证明.

所以,世界上只有毕达哥拉斯定理.而没有所谓的勾股定理,如果有,那是毕达哥拉斯定理在我国的别称.(我参考一些文章后得到的看法)

基本概念

半径: 圆心和圆上的任意一点的线段

直径: 通过圆心并且两端都在圆上的线段

弦: 圆上任意两点的线段

弧: 圆上任意两点间的部分

圆心角: 顶点在圆心上的角

圆周角: 顶点在圆周上,且它的两边分别与圆有另一个交点

圆周率: 圆周长度与圆的直径长度的比值

弓形: 由弦和它所对的一段弧围成的图形

扇形: 由圆心角的两条半径和圆心角所对应的一段弧围成的图形

圆的性质 (144页)

等圆心角对等弦

弦的垂直平分线过圆心

不共线的3点可以做一个圆

圆周角等于其所对圆弧的圆心角的一半

直径所对圆周角是直角

切线

平面内,直线与圆有一个交点.是为相切,直线是圆的切线

切点与圆心的连线(半径)垂直于直线

圆外一点可以做两条切线,且长度相等.(点到切点间的距离)

公切线, 直线与两个圆相切.两个圆在直线一侧,叫外公切线.在两旁叫内公切线.(如皮带传动机器)

圆与圆的公切线,两个圆有一个交点.圆不重叠叫外公切,一个圆在另一个内,叫内公切

平面三角

锐角三角函数 cos sin tan atan sec csc(161页)

书上对 "tgA" 做了汉字读音的翻译 "坦金特A" 这真的很幽默啊,那个时代编者是个什么样的观念呢? (165页)

直角三角形的解法及其应用 (171页)

毛主席教导我们: "抓着了世界的规律性认识,必须把它再回到改造世界的实践中去,再用到生产的实践~革命的阶级斗争和民族斗争的实践以及科学实验的实践中去."

任意角的三角函数

任意角三角函数的概念 (179页)

O 是角的顶点,OA 是与 x 轴重合的一条边,是固定的(起始边). OM 是另一条边,是由 OA 旋转得到(终边),那么 AOM 就形成了一个角.

正弦: 终边上任意一点的 y 坐标和这点到原点的距离比值,叫 AOM 的正弦.

余弦: 终边上任意一点的 x 坐标和这点到原点的距离比值,叫 AOM 的余弦.

正切: 终边上任意一点的 y / x

余切: 终边上任意一点的 x / y

正割: 终边上任意一点到原点距离 R / x

余割: 终边上任意一点到原点距离 R / y

任意角三角函数值的计算 (183页)

斜三角形的解法 (192页)

正弦定理: 任意三角形的各边和它所对角的正弦之比相等

余弦定理: 三角形任意一边的平方,等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角余弦乘积的2倍.

三角函数的图像

常用函数 y = Asin(ax + b) (200页)

反三角函数

在实际问题中,有时需要研究相反的问题,根据 y 的确定值求 x (206页)

反正弦函数 x = Arc sin y y = arc sin x

三角恒等式

基本恒等式 (212页)

矢量和复数

矢量及其运算 (224页)

尤拉公式 (234页)

平面解析几何

曲线和方程,直线

"解析几何正是随着生产斗争和科学实验的需要而发展起来的,它的特点是通过坐标法,使点与坐标对应起来,使曲线与方程对应起来,从而借助于代数方法研究几何问题."

因为科学实验而发展起来是正常的,但是生产斗争和解析几何有关系吗?

两点距离公式

|m1m2| = √(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2

平面曲线,用代数方法研究曲线性质

如果某一条平面曲线和一个含有两个变量 x , y 的方程之间,存在着下述关系:

1. 凡是在曲线上的点,它们的坐标 x , y 都满足这个方程

2. 凡是不在曲线上的点,它们的坐标 x , y 都不满足这个方程.那么,这个方程就叫做这条曲线的方程,而这条曲线叫做这个方程的图形.

曲线的方程这一概念反映了几何上的曲线和代数上的方程之间的联系,它使得我们有可能用代数的方法来研究曲线的性质.

中垂线: 线上的点满足 x + y - 1 = 0

建立曲线方程的步骤 (240页)

1. 根据所给条件,选择适当的坐标系

2. 找出动点运动时所必须遵循的规律

3. 用动点的坐标 x , y 来表示这个规律,便可得到一个含有 x , y 的等式,经过整理化简得到曲线方程.

直线

毛主席教导我们:"人们的认知,...,也都是一步又一步地由低级向高级发展,即由浅入深,由片面到更多的方面".

本书一直都在提及毛主席语,一直认为,毛泽东思想是伟大的,但未曾想到,同样也是深邃的,科学的.

直线斜率 x 轴逆时针旋转与直线平行时所转过的角度的正切值. 与 y 轴平行的直线没有斜率

直线方程

点斜式 y - y0 = K (x - x0)

斜截式 y = Kx + b (b 是直线的 y 截距.直线与 x 轴交点的横坐标叫 x 截距.同理..)

两点式 (y - y1) / (y2 - y1) = (x - x1) / (x2 - x1)

一般式 ax + by + c = 0

平面上任何一条直线的方程都是二元一次方程;反之亦然.

二次曲线

圆标准方程: (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2

一般方程: x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0

圆的一般方程和二元二次方程比较 (253页)

坐标轴平移

原坐标 (x , y) , 新坐标 (x1 , y1) ,平移到 (a , b) 那么 x1 = x0 - a , y1 = y0 - b

椭圆

椭圆标准方程: x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1 (a > b > 0 , 长半轴 a ,短半轴 b , 焦距 2c ,点到焦距和为 2a ,焦点坐标(-c , 0) (c , 0) , c = √(a^2 - b^2)

抛物线

如果平面内一个动点到一个定点和一条直线的距离相等,那么这个动点的轨迹叫做抛物线.定点叫抛物线的焦点,直线叫抛物线的准线.

抛物线标准方程: y^2 = 2Px 焦点 (P / 2 , 0) 准线方程 x = P / 2

双曲线

如果平面内一个动点到两个定点的距离的差的绝对值等于定长,那么这个动点的轨迹叫双曲线

双曲线标准方程: x^2 / a^2 - y^2 / b^2 = 1 (a > b > 0 ,实半轴 a ,虚半轴 b , 点到焦距差为 2a ,焦距 2c ,焦点坐标(-c , 0) (c , 0) , c = √(a^2 + b^2)

渐近线 y = +- x(b / a)

参数方程和极坐标

参数方程 (274页)

倒数和微分

介绍 (289页)

微分是一个"化整为零"的过程,而积分则是"积零为整"的过程.微分使整体转化为局部,而积分则使局部转化为整体.

毛主席教导说:"人类的历史,就是一个不断地从必然王国向自由王国发展的历史."

不是很明白这句话,王国还分为必然和自由?

毛主席指出: "不同质的矛盾,只有用不同质的方法才能解决" (291页)

函数的极限

设函数 y = f(x) ,如果当自变量 x 趋向于定数 x0 (或 x 趋向无穷大)时,函数 f(x) 趋向于一个确定的常数 A ,那么

A 叫做函数 y = f(x) 当 x 趋向于 x0 (或 x 趋向无穷大)时的极限.

极限的运算法则

设两个存在极限的函数 u(x) , v(x) ,它的四则运算如下: (293页)

    // 两个函数和的极限等于各自极限的和
    lim[u(x) + v(x)] = lim[u(x)] + lim[v(x)]
    // 差同上
    lim[u(x) - v(x)] = lim[u(x)] - lim[v(x)]
    // 乘法
    lim[u(x) * v(x)] = lim[u(x)] * lim[v(x)]
    // 有常数乘法
    lim[Ku(x)] = lim[K] * lim[v(x)] = K * lim[v(x)]
    // 除法,分母不能为0
    lim[u(x) / v(x)] = lim[u(x)] / lim[v(x)]

函数增量

对于函数 y = f(x) 当自变量从 x 到 x + Δx 时,函数 f(x) 相应变到 f(x + Δx) Δx 叫自变量增量, f(x + Δx) - f(x) 叫函数增量.记为 Δy

Δy = f(x + Δx) - f(x)

函数的连续性

y = f(x) 在任意一点 x 处,当自变量的增量 Δx 趋向于0时,函数增量 Δy 也趋向于0,那么函数 y = f(x) 在点 x 处是连续的.

间断: 当函数在 x 点处断开时, x 点叫做 y = f(x) 的间断点.

倒数和微分的概念

微分定义 299(页)

导数,是函数增量与自变量增量的比值,在自变量增量趋近于0时的极限.

设有函数 y = f(x) ,f'(x) * dx 叫做函数的微分,记作 dy 或 df(x).可以认为函数的微分是其导数与自变量微分的乘积.

导数等于函数的微分与自变量微分之商,因此导数也叫微商

求导数步骤

一个自己的练习: 求 y = ln x 的导数. 下面按步骤来求:

    // 增量,比值
    dy = ln(x + dx) - ln(x)
    dy / dx = (ln(x + dx) - ln(x)) / dx

    // 求极限的过程需要一些其它知识点
    // 1.对数运算,同底对数的差等于(真数)商的对数
    dy / dx = (ln(x + dx) / x) / dx
    dy / dx = ln(1 + dx / x) / dx

    // 2.设 u = 1 / dx , (dx = 1 / u) ,那么
    dy / dx = ln(1 + 1 / ux) / (1 / u)
    dy / dx = ln(1 + 1 / ux) * u

    // 3.继续对数运算,对数与常数 K 的积,等于真数的K次幂的对数.那么
    dy / dx = ln[(1 + 1 / ux)^u]

    // 4.往 (1 / (1 + x))^x 这个形式演化.
    // u 次幂,化为 ux * (1 / x).这里用到指数运算,一个数的指数的指数等于指数相乘,2^3^2 = 2^6
    dy / dx = ln{[(1 + 1 / ux)^ux]^(1 / x)}

    // 5.为什么要往 (1 / (1 + x))^x 这个形式演化,因为,这个形式的极限正是 e (自然对数).那么
    dy / dx = ln(e^(1 / x))
  
    // ln就是e为底的,那么容易计算处对数值
    dy / dx = 1 / x

导函数: f'(x) 是 f(x) 的导函数.当 x 取确定值 x0 时, f'(x) 的值叫函数 f(x) 在 x0 处的导数值.记作 f'(x0)

微分法

// 导数四则运算

u = u(x) v = v(x) 两个函数在 x 处可导,那么

加减

两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)

(u +- v)' = u' + v'

乘积

(u * v)' = u' * v + u * v'

两个函数积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数

有常数的函数 u = Cu(x) ,常数可以提出导数括号外

(Cu)' = C * u'

两个函数商的导数,等于分子(函数)的导数乘以分母(函数),减去分子(函数)乘以分母(函数)的导数,再除以分母(函数)的平分

(u / v)' = (u' * v - u * v') / v^2

// 微分四则运算

d(u +- v) = du +- dv

d(u * v) = u * du + u * dv

d(u / v) = (u * du - u * dv) / v^2

复合函数求导

复合函数 306(页)

y = f(u) , 而 u = g(x) ,那么 y 也是 x 的函数, y = f[g(x)] ,这谓之复合函数.特点之一是,复合函数的自变量是另一个函数的值.

复合函数求导数可以使用"链式法则",(a 函数的值是 b 函数的自变量,当 a 函数自变量变化时,值也变化,那么 b 函数的自变量也变化了)

设 u = g(x) ,其在 x 处的导数: u' = g'(x)

设 y = f(u) ,其在 u 处(u 处是 函数 u = g(x) 在 x 处 的值)的导数 y' = f'(u) (注意 y=f(u) 不一定在u处有导数,前提是定义域范围)

如果 u , y 两个函数都有导数(x 处),那么其复合函数也有导数:

复合函数的导数,等于其中间变量函数的导数乘以中间变量的自变量(也是函数)的导数.

y(x)' = y(u)' * u(x)'

求 y = √ (4 - x^2) (根号下 4 - x平方)

    // y = √ (4 - x^2) 是一个复合函数, y = √u , u = 4 - x^2
    // 先求出 y , u 的导数
    y(u)' = 1 / 2√u , u' = -2x

    // 使用复合函数求导公式得
    y'(x) = 1 / 2√u * (-2x)

    // 带入 u ,化简
    y'(x) = 1 / 2√(4 - x^2) * (-2x)
    y'(x) = - x / √(4 - x^2)

导数的应用

可以求变速直线运动的速度和交流电的强度

平面几何中,可以求曲线某个点的切线.因为曲线函数的导数是曲线点切线的斜率

一张正方形的纸,做成一个盒子(四面加底面),可以在四个角减去一个小正方形,然后折起.减去多大正方形时,盒子容积最大.

lim(x趋于0) f(x) - f(x0) / x - x0 这个公式如果不取极限,可以用来求近似值.x - x0 越小越近似.

积分

Σ 连加号.(音:西格玛) 符号上标 n 下标 i = 1,表示由 1 到 n 共 n 项的和. (321页)

lim(n~无穷大) Σ f(x) 表示 n 趋近无穷大时,求f(x)的和.

定积分的概念

毛主席教导说:"认识的感性阶段有待于发展到理性阶段--这就是认识论的辩证法."

定积分的定义

设函数 y = f(x) 在区间 [a , b] 上连续.将区间 [a , b] 分成 n 个长度相等的小区间,各小区间的左端点依次记为

a = x1, x2, x3,...,xn

和式的极限 lim(n~∞) Σ(n,i=1) f(xi) * Δx 叫做函数 y = f(x) 在区间[a , b]上的定积分(简称积分),记作 ∫(a,b)f(x)dx

∫(a,b)f(x)dx = lim(n~∞) Σ(n,i=1) f(xi) * Δx

x 叫积分变量,f(x) 叫被积函数 f(x)dx 叫被积表达式, a , b 叫积分的上限和下限 ∫ 叫做积分号

定积分的几何意义

微积分基本公式

原函数的概念 (326页)

如果函数u = u(x) 的导数 u',是另一个函数 v = v(x),那么 u 是 v 的原函数

微积分基本公式

如果 F(x) 是 f(x) 的原函数,那么 f(x) 的定积分等于 F(x) 在[a , b]上的增量

牛顿-莱布尼茨公式 :

∫(a,b)f(x)dx = F(b) - F(a) = F(x)[a,b]

一个连续函数在区间 [a , b] 上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[a , b]上的增量.使用这个公式,计算定积分就容易多了

微分和积分的关系

微积分基本公式建立了积分和导数(或微分)之间的相互关系

微分与积分的这种关系正是客观事物的局部与整体这对矛盾在数学中的反映

定积分性质 (328页)
积分法

求原函数的方法叫积分法

不定积分:

如果 F(x) 是 f(x) 的一个原函数,即 F(x) = f(x),那么函数 f(x) 的全体原函数 F(x) + C 叫做函数 f(x) 的不定积分.C 叫积分常数

定积分的应用 (338页)

附录

附录 (394页)