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数学通识50讲

课程名: 数学通识50讲 (吴军)

这是一个在线课程,在"得到APP"上开的,开课时间是2019/11/05,这一天的晚上8点(北京时间),吴军博士在得到平台作了现场开课演讲.

零 数学到底应该怎么学

在上个世纪80年代,国内流行过一句口号:"学好数理化,走遍天下都不怕."因为当时的教学体系还不完善,数理化这些基础学科比重大,而且容易培养出建设型人才,所以受到重视.当然,随着综合教育体系的完善,这个口号也就不再流行了.

但是,在今天来看,无论你的专业和工作是什么,你都会发现,数理化这些底层学科是不是牢固,真的决定了一个人的知识结构能搭多高,在专业上能走多远,尤其是数学.数学作为一切科学的基础,它化繁为简,直击本质的思考方式,让很多人获益.那些数学成绩好的人,做起事来总是一通百通,很容易脱颖而出.

但是事实上,很多学习数学的人会感觉自卑,并产生厌恶.这是为什么呢?当然不是数学本身的问题,也不是我们人的问题,而是因为我们和数学之间缺失了一个桥梁.数学是一种抽象的知识体系,而我们人要靠经验感知才能认识世界,这中间需要一个桥梁,这个桥梁一旦构建起来,每一个人都能受益于数学.

那么是否每一个人都有可能学好数学呢?公平地讲,数学往深了学确实很费脑力,对大多数人来讲有点难度,但是把平时用到的~能够提升我们思维的数学学好,是每个人都能做到的.接下来我就用一个例子谈谈怎么学数学.

2017年,一位原央视的主持人请我和中国科技馆前馆长王渝生先生,做一个有关数学的节目.在节目开始前,主持人对我说,她高考时数学不及格,是个学渣.我说,你能有今天这样的成就,显然不是学渣.数学没学好,不是你的问题,是教学的方法和考量学生的方法不对.

然后我就告诉她美国顶级的高中和大学是怎样教数学的.在美国最好的高中,把数学课由中国的一门课变为8~10门内容不同的课程,每门课还要开A~B~C三个难度不同的班.比如我们中国(从初中到高中)的几何,被分为平面几何A~B~C,解析几何A~B~C,等等各种难度的课程和班级.

入门的那几门数学课足够浅显,难度较低的班会讲得更浅,内容更精简.比如平面几何的A,讲清楚几何学的原理和用途,以及推理的思维方式就好,就不让学生再做那些比较难的证明题了.像点~线~面~三角形~四边形和多边形等概念,以及平行~垂直等关系,其实对任何人都不难,都能取得好成绩.

当然,由于你选择了简单的数学,也就没有浪费时间去攻克对自己来说很难的数学内容,就可以学更多自己喜欢的文学或历史,然后申请那些更适合自己的大学.

更重要的是,虽然你所学的数学课不多,也不深,但好歹掌握了基本概念,掌握了相应的思维方式,如果将来真想再继续学,还是有可能的.否则你学了一大堆理解不了,考试通不过的内容,不仅浪费时间,而且本来能学会的简单内容也全丢掉了.

不信我问你,还记得住计算圆球体积的公式,或者方程组的解法吗?那些都不是什么很难的内容,但是因为大家做不出数学题,考不出满意的分数,就从心里彻底放弃了这门课,以至于那些本应该记住的简单内容也干脆全忘光了.可以说,结果就是早早地就把通往数学的桥梁毁掉了,从此以后,再也没有体会过数学思维的乐趣,放弃了智识生活的可能.

那么在我的数学课中,我会教什么?大家又应该怎么学?学完以后应该怎么用呢?

在教学方面,我会模仿美国的数学教学方式,为你做好三件事,也是我这门数学课的三个教学特色:

首先,我会为你重建这座通往数学的桥梁,帮你把那些熟悉的知识点各安其位,放进知识体系里.我的讲法是把一门数学课从完整的体系变成一个个的知识点,讲透之后,再还原回体系.让你能够熟练地把握知识点和课程体系的关系,这门课的体系也就搭建好了.

以最难的几何学为例,再难的几何题,其实最终都可以拆成那五个最基本的公理.这五个公理,又可以推导出几何学的任何结论.就如同几种乐高积木可以搭出任何形状一样,我会在几何那个模块介绍给大家.

至于这个体系能构建得多大,则要看学生能够接受的程度,学生接受的程度高,就搭一些复杂的,接受程度低,就搭一些简单的.但是能够拆解和搭建哪怕是比较小的体系,通识教育的目的就达到了.

其次,在介绍这些关键数学知识点的同时,我会讲清楚它们在数学上的位置,以及和各种知识体系的相关性.这样不仅能够把各种知识打通,而且能够让你在自己的行业中超越绝大部分从业者.

我的<数学之美>出版后,很多人读后感慨,原来数学对信息处理帮助这么大.但其实那本书中介绍的全部内容,不过是一些知识点.而仅仅是理解了那些知识点的计算机从业者,就已经获得更强的竞争力了.

再比如,为什么大家熟知的勾股定理,在国际上通行的叫法是毕达哥拉斯定理?因为勾股定理只是经验,而毕达哥拉斯定理却完成了数学证明,但教科书出于发明权的考量并没有说明,结果就是把数学这门课的逻辑基础搞丢了.以至于很多人大学毕业工作多年依然搞不清物理上用实验证实的定律和数学上用逻辑证明的定理有什么差别.如果基础就打歪了,以后进入工作,很可能出大错.

最后一点,也是最重要的,是通过学习数学,实现思维方式的跃进.为了做到这一点,并不需要讲述太难的数学知识,而是需要讲透.

事实上,我们无论是讲透毕达哥拉斯定理,还是更难懂一些的欧拉公式,都可以在讲述的过程中将数学家超出凡人的思维方式讲清楚.毕竟对于大部分人来讲,一辈子用不到欧拉公式,如果他们不容易理解,用简单的例子把道理讲清楚就变得格外重要了.

至此,我为你搭建的桥梁就算建造好了,当然,还是需要你亲自从这头走到那头去,我们接下来谈谈你怎么做,才能跟着我学好数学:

一个学好数学最重要的办法是,不断训练自己的思维方式.

很多人喜欢读侦探小说和悬念小说,喜欢解决各种谜题,这其实是人类的一种天性,也是对头脑的一种训练.学数学能够提高我们这方面的能力,让自己成为一个"深入的思考者"(Deep Thinker).

世界上有两种所谓的聪明人,一种是反应很快的人,被称为Quick Thinker,另一类则是Deep Thinker,也被称为Hard Thinker,无论是哪一种,其实都是可以后天训练的.训练快速反应最好的办法就是多听多看.但是训练Deep Thinker,就需要练习一环扣一环解套的本事了.

用数学做这种训练的好处是,它经过上千年的发展,已经有一整套训练材料了.所以学数学,就像打游戏晋级一样,一点点往前探索,一个个击破难题.

最后,请你查看课表,当然我还是想再从不同的维度上帮你提炼一下.

首先,我们会学到虚数~极限~微分~积分等等这样的具体知识点,掌握它们之间的关联,以及它们在人类认知方面的地位.这样我们就能理解人类是如何扩展自己的认知的.如果我们把自己成长的过程和人类成长的过程做一个对标,就能通过它们扩展我们自己的认知.

再往上一个维度,你还能了解数学在人类知识体系中的地位,比如数学和艺术的关系,和法律,和经济学的关系,等等.很多时候,数学不能直接解决我们的实际问题,但是它能够给我们提供一个思路.

在更高的维度上,我会通过介绍数学的发展史,帮你理解数学思维,也就是人类的认识是如何从直观到抽象,从静态到动态,从宏观到微观和宇观,从随意到确定,再到随机,等等.

好,如果你想重新认识一下数学,和我一起感受一次数学之美,那么欢迎你加入我的<数学通识50讲>.当然,除了数学通识,我还将开设一系列的通识课程,把每个人都需要掌握的人类知识精华,整理成课程,帮每个现代人装备自己的头脑,找到最适合这个世界的思维方式.

好,我们马上开始数学之旅!

我的感受

看到"学好数理化走遍天下都不怕"这句话,想起小时候无知的玩笑,"胡说,去一个树林玩,遇到了老虎,难道数学好就不怕被老虎吃掉?"

后来接触了这些课程,其实有些还是很感兴趣的,为什么感兴趣,是因为通过学习这些知识了解到自然界的有趣,特别是物理化学.对于数学就

没那么感兴趣了,很枯燥且难理解.在看了这节发刊词后,忽然意识到自己从来没学过数学,非常失败.因为花时间做了很多数学题,却从来

没有形成靠逻辑分析问题的思维方式,一直在胡乱尝试和猜测.竟然从来没有认识到"再难的几何题,其实最终都可以拆成那五个最基本的公理",

这一基础要领,欧几的基石.所以我没有学习过数学,但是我又一直觉得数学有用,比如在概率和编程算法方面,现在要好好学一学了.

读"文明之光"了解到,人类社会能不断进步,是因为工业发展.科学技术支持的工业是可以叠加式进步的,而支持科学技术发展的又是数理化

这些研究的不断积累突破.再看"学好数理化走遍天下都不怕"这句话,它好像一个难以证伪的数学猜想

一 数学通识课的体系和学习攻略

你好,欢迎来到我的<数学通识50讲>.

这一讲算是数学通识课的学习地图,我会带你俯瞰一下这门课的全貌,便于你系统地把握课程内容.

如果把人类的知识体系用学科来划分的话,数学可能是其最大的一个,因此要想在50讲左右的时间里介绍它的全貌是不可能的.

所幸的是,作为通识教育,你不需要学那么多,而且数学的各个分支,无论难易,从体系到研究方法,再到应用方法是共通的.

成年人接受数学通识教育,其实只要做到一点就够了,就是从理解初等数学到理解高等数学——(也就是)把自己对所有和数学相关的概念和方法的理解程度,从静态的~具体的,上升到动态的~规律性的.要达到这个目的,不需要讲很多内容,但需要一些线索.

下面我就简单介绍一下课程的内容和我选择它们来串联课程的理由.

第一模块讲的是数学究竟是怎么从一个猜想,得出推论,然后又产生实际应用的.

根据<时间简史>和<大设计>的共同作者蒙洛迪诺的讲法,人类早期的所有知识体系都是:"前科学".这是好听的说法,难听的说法叫做"巫术式"的.

在所有早期文明中,唯一的例外是古希腊.但即使是在古希腊,我们所知的那些大学问家们比如泰勒斯~赫拉克利特~亚里士多德,他们的思维依然是前科学的,不是科学的,因为他们对客观世界的解释,加入了太多主观的想象.而在古希腊,真正具有划时代意义的人则是毕达哥拉斯.

毕达哥拉斯是将数学从经验上升到系统性学科的第一人.他确立了数学的起点,也就是必须遵循严格的逻辑证明才能得到结论的研究方法,这就让数学从早期那些需要靠测量和观测的学科,比如天文学~地理学和物理学中,脱身出来,成为所有基础学科之上,带有方法论性质的特殊学科.

因此,我们会先从毕达哥拉斯学起,他也是整个第一模块的主线.那么我会怎么讲这个模块呢?

首先,我会讲毕达哥拉斯最出名的毕达哥拉斯定理,也就是我们所说的勾股定理.

我们还知道,毕达哥拉斯最被后人所诟病的地方是否认无理数的存在,并假装视而不见,还把提出这个问题的学生害死了.

对此,今天很多人说他无知,顽固,拒绝接受真理等等.但是要知道,在当时人们所知的有限的数学领域中,毕达哥拉斯是这个体系的教主,他需要这个建立在逻辑之上的体系的一致性和完备性,而逻辑上的一致性也是数学最基础的原则.

因此,他发现无理数的出现会破坏他所理解的数学体系的完备性,动摇数学大厦时,他就采取了教主们才会采用的激进行为.

毕达哥拉斯真正的错误在于,他不懂得要维系数学这个体系,需要定义"无理数"这样的新概念.无理数造成的数学危机解决之后,数学反而发展了,并没有像毕达哥拉斯想的那样崩溃.

毕达哥拉斯另一个了不起的成就,就是算出了黄金分割的比例.从黄金分割出发,毕达哥拉斯发现了数学和美学的关系,并且开始用数学指导音乐.

概括来讲,我们在第一模块"数学的线索"里面,以毕达哥拉斯为线索,一方面将很多数学知识点串联起来,向大家展示数学是什么样的体系,另一方面,我们把毕达哥拉斯作为例子,说明数学发展和体系构建常常经历的步骤.也就是,从特例到引理再到定理~推论,最后到应用的全过程.

但是数学的发展又非单一线索,从一个点出发可能产生了很多并列的推论,因此我们不得不在课程中把并行的内容按顺序来讲.比如在第一模块中,我们在讲完黄金分割的应用后,又会回来讲和它有关的等比数列.

当你知道数学定理是如何从猜想到推论再到应用的过程,我们就进入课程的第二个模块"数的概念",通过讲述人类对数字这个概念的认识历程,我会给你一个思维工具——"从具体到抽象",从而解释为什么你从小学数字,但其实对数字的认识并没有提高,以及学数学多年都不能为己所用的原因.

照理讲,我们的认知水平应该随着所学内容难度的提升而提升,但是通常不是如此.很多人学到大学关于数字的概念时,对数字的理解方式,还停留在小学阶段.

比如,对于无穷大和无穷小这样的概念,很多人依然以为它们只是巨大的数字和极小的数字.事实上它们和我们日常遇到的具体数字不同,代表着变化的趋势和变化的快慢.因此从小学到了大学,大家对数字的理解就应该从静态到动态,但遗憾的是,很多人并没有这样的认识.

当一个人用小学的思维方式,学习大学的数学内容,一定会觉得难以理解,于是对数学敬而远之.这并不能怪学习的人,而是怪很多数学课在设计时,没有把听众当作未来的主人,而只是把他们当作未来的工匠,教给他们一些具体知识让他们干活,而非更高级的思维认知.

因此,在第二模块中,我们会突出数学作为"抽象思维"工具的作用,比如人们从具体算术到抽象代数,用到解方程~虚数等等,为什么要学习它们?因为它们的角色是人类造出来的抽象工具,在现实生活中并不存在,但是有了它们,现实的问题就好解决了.数学通识教育,一个重要目的就是让大家习惯于使用这样的抽象工具.

第三~第四模块的内容集中在我们熟知的几何和代数.在几何的模块中,我们会以它为例子介绍什么是公理化的知识体系,它是如何建立的.

在代数的模块中,我们会重点介绍函数和向量.函数这个概念的发明,把我们人类的认知从个体上升为整体,从单点联系,上升为规律性的网状联系.

比如同一道题目,从小学到大学,理解是不同的,这是一个从单纯理解数字大小,到理解它方向性的过程.

在小学,如果我们看到一道题,说张三以50公斤的力拉箱子,李四以30公斤的力拉,拉箱子的力是多少?答案很简单,就是80公斤.但是到了初中,我们有了负数的概念,你就要问他们拉箱子的力是相同的还是相反的,如果是相反的,只有20公斤.

再往上学,我们就要问他们拉箱子的力夹角是多少度,在90度时和120度时,受力可是不同的,这就进入到了大学思维.

向量和线性代数,就是把数字从单纯的数值,变成了有方向的数值.所以,我认为这两大知识点,最能代表代数模块的内涵,可以帮助大家提升认知.

第五模块是微积分,这已经是高等数学的内容了.但是,我们其实在第二模块里已经不知不觉地把微积分中最难的内容提前讲了,因此在这个模块,大家反而会觉得简单.

对于微积分,它和初等数学的工具有什么不同呢?人们开始对把数学从关注静态的关系,变成了对动态规律,特别是瞬间规律的把握上.理解这一点,并且主动应用到工作中,是我们学习微积分的目的.那些很难的概念,解题技巧,其实毫不重要.

好,前面你学习了数学公理~数字~几何~代数和微积分,提纲挈领地回顾了数学发展的历史,这些分支有个特点,就是能给出问题唯一的答案.

但是到了近代,很多现实问题很难有完全确定的答案.于是,为了研究不确定世界的规律性,概率和统计发展起来了.数学的这个分支在今天我们充满不确定性的世界里非常重要,也是所谓的大数据思维的科学基础.

纵观数学发展的历程,以及我们应该具有的数学思维历程,我们可以看到这样的趋势,从个案到整体规律,从个别定理到完整的知识体系,从具体到抽象,从完全的确定性,到把握不确定性.

无论是在整个的课程中,还是每一个模块之内,我们都能看到这样人类认知升级的过程.当然,我觉得这也应该是我们自己的认知升级过程.

在课程的最后,我们会介绍数学和其它学科的关系.这样能够在完整的知识体系中,更好地理解数学.接下来,我们就先从毕达哥拉斯讲起,从数学的起点开始我们的数学之旅.

二 为什么在西方叫毕达哥拉斯定理

你好,欢迎来到我的<数学通识50讲>.

我们的第一个模块,会为大家介绍数学的线索,也就是它从猜想到定理再到应用的整个过程.我会以毕达哥拉斯定理为例来展开.

勾股定理大家都不陌生,它讲的是直角三角形两条直角边的平方之和等于斜边的平方.

a²+b²=c²

但是,这个定理在国外都被称为毕达哥拉斯定理.毕达哥拉斯(Pythagoras,约公元前580年—约公元前500年)是古希腊著名的数学家和知识的集大成者.

相关阅读:<科技史纲60讲>15|为什么其他文明没有诞生古希腊的科学?

接下来有两个疑点,你的中学老师可能在刻意回避或者说没有讲清楚,而它们又实在太重要了.

第一个疑点:这个定理是否在毕达哥拉斯之前就被发现了?

我们过去的教科书里讲,据汉朝的数学书<周髀算经>的记载,早在公元前1000年的时候,周公和商高这两个人就谈到了"勾三股四弦五".他们的年代比毕达哥拉斯早,因此教科书中讲是中国人商高最早提出这个定理的,于是称之为勾股定理或者商高定理.

我们先不说<周髀算经>里所记载是否靠谱,就算靠谱,它也只是记载了一组勾股数(即直角三角形直角边和斜边都是整数的情况),并不能说明发现了其中的规律.因为比周公和商高早1500年,古埃及人在建造大金字塔时就已经按照勾股数在设计墓室的尺寸了.

如果再往前推,美索不达米亚人早在公元前18世纪左右就知道很多组的勾股数(包括勾三股四弦五),而且留下了实物证据.比如耶鲁大学的博物馆里就保存了一块记满勾股数的泥板.

接下来就产生了第二个疑点,古埃及和美索不达米亚为什么不去争夺这个定理的发现权呢?

简单地讲,所有这些古代文明不过是举出了一些特例而已,甚至没有提出假说.我们在后面的课程中会看到,很多时候特例中反映出的规律和后来真正的定理可能是不同的.所以,这种特例就没有意义.

如果像美索不达米亚人那样举了很多特例,而且没有发现例外,是否可以认为他们最先发现这个定理呢?答案是否定的,因为光举例子还是不够的,还需要做出一个明确的规律性的描述,这种描述我们可以把它称为命题.

一个命题在没有证明之前,只能算是猜想,比如著名的哥德巴赫猜想.而总结出一个猜想和证明定理依然是两回事,当然这是比举几个例子进了一大步了.

再接下来,猜想如何证实呢?在这一点上数学和自然科学完全不同.那么我们就要说到数学和自然科学的三个本质差别,也是这一讲最重要的三个知识点,它们能够帮助我们理解数学特殊的方法和思维方式,或者说了解数学的推理世界与我们真实的测量世界的区别.

1.测量和逻辑推理的区别

我们知道几何学源于古埃及,当地人出于农业生产的考虑,对天文和土地进行度量,发明了几何学.但是,度量出来的几何其实和真正的数学还有很大的差距.

比如说,古代文明的人们确实观察到勾股数的现象,他们画一个直角三角形,勾三尺长~股四尺长时,弦长恰好就是五尺长,于是就有了勾三股四弦五的说法.

但是这里面存在一个大问题,我们说长度是三尺,其实并非数学上准确的长度,用尺子量出来的3,可能是3.01,也可能是2.99.这样一来勾三股四弦五就是一个比较模糊的说法了.

为了让你更好地理解这一点,我们不妨看这样一个例子.

图中左上方有一个8x8的方格,它的面积是64,这没有疑问吧?我按照图中所示的粗线将它剪成四部分,两黄两灰,再重新组合,就得到了一个13x5的长方形,它的面积是65.请问面积是64的正方形怎么重新组合一下面积就多出1,变成65了呢?

当然我们知道64不等于65,这里面一定有问题.那么问题在哪儿呢?其实,问题就出在再拼接时,它们并不是严丝合缝的,只不过缝隙较小,大部分人看不出来罢了.

在数学上,观察的经验可以给我们启发,但是它不能成为我们得到数学结论的依据,数学上的结论只能从定义和公理出发,使用逻辑严格证明得到,不能通过经验总结出来.

讲回到勾股定理,一个工匠注意到勾三股四弦五这个现象,和提出一个具有普遍意义的定理是两回事.

我们通过观察还可以发现,如果勾3.5,股4.5,那么弦大约是5.7,这个"大约"的误差只有万分之一点六左右(弦长大约是5.700887),古代任何测量都发现不了.这时如果你说勾3.5股4.5弦5.7,从物理上来说基本正确,但是在数学上就错了.这是第一个差别,就是测量会出错,但推理不会.

那么,如果我们抛开误差的影响,是否可以认为早期文明的人们发现了勾股定理呢?也不能,只能说他们观察到一些现象,而非发现了定理.这涉及到数学和自然科学的第二个主要区别,证实和证明的区别了.

2.用事实证实和用逻辑证明的区别

在自然科学中,一个假说通过实验证实,就变成了定律.比如说与牛顿同时代英国的大科学家波义耳同法国科学家马略特一同发现:一个封闭容器中气体的压强和体积成反比.这很好理解,因为体积压得越小,内部的压强肯定越大.这两个人通过很多实验,都证实了这件事,于是这个定律就由他们两个人的名字命名了.

但是,如果有一个非常爱较真的人一定要抬杠,说你们证实了所有的情况(各种体积和压强的组合)吗,你们敢保证没有例外么?波义耳和马略特肯定会说,我们不敢保证没有例外,但是这个规律你平时使用肯定没有问题.

果然,后来人们真的发现当压强特别大时,这个定律就不管用了.但是没有关系,在大多数条件下,这个定理依然成立,今天人们在做产品时,依然可以用.

事实上,今天几乎所有的自然科学的定律和理论,不仅存在一个被推翻的可能性,而且有很多的例外.比如,证实引力波的实验,也只能保证99.9999%的可能性结论是对的.

但是,在数学上,用实验来验证一个假说(在数学上常常被称为猜想)是不被允许的,我们在后面介绍无穷大时,大家还会看到这甚至是做不到的.数学的结论只能从逻辑出发,通过归纳或者演绎得出来.它必须完全正确,没有例外,因为但凡有一个例外(也被称为反例),就要被完全否定掉.这里面最著名的例子就是哥德巴赫猜想.

今天人们利用计算机,在可以验证的范围内,都验证了这个猜想是对的,但是因为没有穷尽所有的可能,就不能说猜想被证明了.因此,我们依然不能在这个基础上,构建其它的数学定理.

所以,数学世界和测量世界第二个区别就是,数学理论必须要证明,保证没有例外.

3.科学结论相对性和数学结论绝对性的区别

为什么数学要那么严格,它的定理为什么不能有任何例外,更不能特殊情况特殊处理呢?因为数学上的每一个定理都是一块基石,后人需要在此基础上往前走,试图建立一块新的基石,然后数学的大厦就一点点建成了.在这个过程中不能有丝毫的缺陷,一旦有,整个数学大厦就轰然倒塌了.

还是以勾股定理为例,它的确立,其实教会了人们在平面计算距离的方法,在此基础之上,三角学才得以建立,笛卡尔的解析几何才得以确立,再往上才能建立起微积分等数学工具.此外我们这个模块后面会讲到的无理数的出现~黄金分割,都和它有关.

人类今天发明的各种科技,像无线通信~航天等等,依赖于这些定理.如果出现了一个违反毕达哥拉斯定理的反例,不仅是这个定理失效了,而且整个数学就完蛋了,我们的科技也就时灵时不灵了.因此,数学上的每一个定理,必须也只能通过逻辑推演来证明,用多少实例来验证都没有用.

理解了数学定理确立的过程,以及它随后产生的巨大影响,我们就清楚定理和定理证明在数学中的重要性了.正是因为这个原因,西方才将这个定理命名为毕达哥拉斯定理,以彰显他的贡献.是他明确提出这个定理,并且严格地证明了它,从此毕达哥拉斯定理才成为了数学上普遍的规律.

有了一个个的定理,数学就得以建立起来,而且这个建立在逻辑推理基础上的大厦很坚固.在数学上,当一个新的定理被证明后,就会产生很多自然的推论,每一个推论可能都是一个重大的发现,甚至能带来人类认识的升级.毕达哥拉斯定理的一个直接推论,就是无理数的存在.这个内容我们下一讲再讲.

要点总结:

数学和自然科学不同,它不相信测量,不是建立在实证基础之上,而是建立在逻辑基础之上的.数学也不接受大部分情况正确,但是包含例外的定理.这样整个数学大厦的基础才得以稳固.

数学定理确立的过程大致是这样的,一开始可能只是大家注意到几个特例,然后发现很多例证提出猜想,猜想经过证明就成为了定理,定理会有推论,在此基础上,会有新的定理和应用.

思考题:

在物理学中,从不同的角度理解光,会得到粒子说和波动说两种解释,数学从两个角度证明一个定理,会不会得到不同的结论?

欢迎把课程分享给你身边的朋友,和他们一起重新感受数学之美.

三 如何用推理走出认知盲区

你好,欢迎来到我的<数学通识50讲>.

上一讲,我们通过毕达哥拉斯定理解释了数学的起点,它必须是从逻辑推理和证明得来的,而非测量和实验出来的.我们这一讲就看看以毕达哥拉斯定理为起点出发,人们又发现了什么.

在古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras,约公元前580年—约公元前500年)所处的时代,人们认识到的数学上的数字都是有理数,它们都有我们平时所说的分数,具有A/B(B分之A)这样的形式,比如2/3,其中A和B都是整数,当然,整数本身可以被看成分母等于1的分数,比如5=5/1.

毕达哥拉斯有一个很怪的想法,他坚信世界的本源是数字,而数字必须是完美的.整数很完美,而且分数的分子分母也都是整数,不会是零碎的,因此也很完美,整数和分数所构成的有理数让毕达哥拉斯一直坚信自己的想法.

但是,一旦毕达哥拉斯定理被他证明以后,麻烦就来了.

我们上一讲讲过,数学的定理具有永真的特点,它一旦被证明,你就找不到反例.当人们在用毕达哥拉斯定理时,就发现了问题.假设某一个直角三角形的两条直角边长都是1,那么斜边该是多少呢?

你可以根据毕达哥拉斯定理算一下,既然两条直角边都是1,它们各自的平方也是1,加起来是2,因此斜边的平方是2,这个斜边就是一个自己乘以自己等于2的数字,从大小来看,它应该在1和2之间.接下来请问,这个自己乘以自己等于2的数字是否是"完美"的有理数?

根据毕达哥拉斯对所有的数字都是有理数的认识,它必须是啊!好,我们就假定存在一个数字是R,它能够写成R=A/B的形式,其中A~B都是互素的整数(互素指的是两个数写成分数的形式,不可再约分,比如5/8,5和8互素;而10/16还能再约分成5/8,所以10/16就不互素,其实这是为了简单地表达所有的有理数.),那么现在假设这个数字R的平方恰好等于2.注意一下,这里面有三个条件,请一定牢记:

A~B都是整数.

A~B互素,也就是不能再约分了.

A/B的平方等于2.

这三个条件能否同时满足呢?答案是不能.为了说明这一点,大家不妨跟着我做一个简单的逻辑训练.

好,这次我们用的方法,在数学上被称为反证法,就是先假定你说的条件都满足,然后我来找出矛盾之处,这样就能推翻原来的假设.

具体到上面这个问题,我们从上面第三个条件出发,也就是"A/B的平方等于2",就得知分子A的平方除以分母B的平方等于2:

A^2 / B^2 = 2

我们把B的平方移到等式的右边2那边,就是A的平方等于两倍的B的平方:

A^2 = 2 x B^2

接下来我来问你,A是奇数还是偶数?你会说它当然是偶数,因为等式的右边是2乘以B的平方,都乘以2了,那A的平方结果肯定是偶数,奇数的平方不可能是偶数,所以A必须是偶数啊.既然A是偶数,我可以把A写成2乘以一个数,比如C,也就是A=2C这种形式,其中C是一个整数.

那么A的平方等于什么呢,等于4倍的C的平方,我就用这个4倍的C的平方代替A的平方,放在原来等式的左边,右边还是2乘以B的平方:

4 x C^2 = 2 x B^2

也就是四倍的C的平方等于两倍的B的平方.这个等式的两边都可以用2去同时除一下,于是就成了两倍的C的平方等于B的平方:

2 x C^2 = B^2

这时我问你,B是偶数还是奇数?你会说当然是偶数,因为两倍的C的平方是偶数啊.

这下子问题来了,怎么A和B都是偶数呢,这不就和上面的第二个条件,也就是"A~B互素,不能再约分"矛盾了吗?

那么到底哪里发生了错误呢?我们先要检查一下我们的推导过程,我们发现没有错误.因此,要么是数学错了,要么是认知错了.勾股定理的证明是通过严格的逻辑推导出来的,也不会有错,于是只能是我们的认知错了.

也就是说,存在一种数字,我们过去没有认识到,它们无法写成有理数的形式,即A/B,它们是无限的不循环小数,在这样的数中有一个自己乘以自己时等于2.我们今天把这个数字称为根号2.这一类的数字其实很多,它们被统称为无理数.

据说毕达哥拉斯的学生希帕索斯最初发现了上述矛盾,于是就去和他的老师讲了.而毕达哥拉斯是个把数学看成宗教的人,出现无限的不循环小数在毕达哥拉斯看来是数学的漏洞,但他又无法把这件事解释圆满,这就是数学史上的第一次危机.

毕达哥拉斯决定把这位学生扔到海里杀死,好把这件事隐瞒下来.

当然,像根号2这样的"无理数"存在的事实,却不可能一扔了之,无理数是客观存在的,毕达哥拉斯是隐瞒不住的,这件事成为了这位确立了数学在人类知识体系中地位的大学问家的一个污点.

另一方面,无理数的危机也带来了数学思想一次大的飞跃,它告诉人们,人类在对数字的认识上还具有局限性,需要有新的思想和理论来解释,认识本身不能有禁区,那些事先为科学设定的条条框框,最终都不得不被抛弃掉.

从这个例子中,我们能学到什么呢?

首先,在遇到数学和现实的矛盾时,我们需要仔细检查推理的过程是否有疏漏,这种情况占大多数.

在排除了推导的错误后,接下来,两种情况必居其一:

要么,我们的眼睛和我们的认知欺骗了我们,就如同我们以为所有的数都是有理数,但其实不是.这是常有的事情.

要么,最初的假设错了或者说不够好.这种事情在历史上偶尔发生过,但是很少,我们后面在介绍非欧几何时会仔细讲到这种情况.这种情况我们通常不需要考虑.

既然在推导没有错误时,通常是我们的观察或者认知欺骗了我们,那么我们就应该把危机看成是转机.人类在科技历史上,很多重大的发明发现恰恰来自于上述的矛盾.

在数学史上,除了无理数被发现之外,几个重大的事件,比如无穷小概念的提出,对无穷大的重新认识,以及公理化集合论的确立,都和那些矛盾有关.这些矛盾有时看似造成了数学危机,但是,人们化解了危机之后,就拓展了认知,建立起新的理论.它们或者让数学本身进步了,或者在科学上做出重大的预言.

几年前约翰·霍普金斯大学的天体物理学家亚当·里斯(Adam Riess)教授给我讲的一堂课,我至今记忆犹深,他让我坚信了对数学本身的信心.里斯等人通过计算,发现宇宙的质量是负数,这怎么可能?难道是数学错了,还是我们对宇宙的理解完全错了?

里斯在做了仔细的检查后首先排除了推理有误的可能性,然后他们不得不承认数学的结论是对的,出错的是我们眼睛(包括观测的仪器).于是,他们认定宇宙中一定存在我们看不见,更不了解的东西,那些就是所谓的暗能量,亚当·里斯等人后来因此获得了诺贝尔奖.

在自然科学上,很多重大的发现,最初都不是直接和间接观测到的,而是根据数学推导出来的,比如说黑洞~引力波便是如此.在历史上,血液循环论~现代原子论最初都是建立在数学推导上的假说,然后才逐渐被实验验证了.

世界上有很多我们不能依靠直觉和生活经验理解的事物,但是我们可以从数学出发,经过一步步推导得到正确的结论,我们甚至不需要亲力亲为地做一遍就知道我们的结论一定是正确的.这就如同你不需要会踢足球,才能评论足球一样,你只需要把握住一些准则就可以了,而数学就是这样的准则.

要点总结:

从数学的定理出发,可以推导出很多针对现实世界的推论,从而改变我们对现实世界的看法,这就是数学的预见性.比如,毕达哥拉斯定理的一个直接结果指出了无理数的存在,它把人类对于数字的认识范围从有理数扩展到了无理数.

当然,可能有读者朋友会想,那些预见性可能和我们相去甚远,其实不然,后面我们会举一些和大家相关的例子,比如如何识破庞氏骗局,为什么不能做空股票,等等.

康德讲:"世界上只有两样东西是值得我们深深景仰的,一个是我们头上的灿烂星空,另一个是我们内心的崇高道德法则."他所说的星空,其实包括数学这样的知识体系.对于很多云山雾罩的事情,我们只需要在逻辑上推演一遍,就能把问题的真相搞清楚了.

思考题:

我们都知道,整体要大于部分,因此10厘米长的线段上的点应该比5厘米长的多,但是如果我能用严格的逻辑证明它们上面的点一样多,你相信么?

欢迎给我留言,并把文章分享出去,让更多的人感受到数学之美.我们下一讲再见.

四 数学家如何从逻辑出发想问题

你好,欢迎来到我的<数学通识50讲>.

这一讲就来举一个发生在我们身边的例子,说明如何利用数学原理思考问题,并且久而久之在遇事时本能地用一个数学的头脑辅助判断.

当然,数学思维高深精妙,但是万法归一,最重要的那个原则就是,从逻辑出发想问题,这样就可以发现很多日常中被忽略的问题,从而找出真正答案.

我们先从最近的一次金融危机讲起.在金融危机之后,英国女王问全世界的经济学家们,你们这么多人怎么没有一个预测到金融危机?这让学者们都很没面子.

经济学家们当时确实是过于乐观了,所以很多暂时不会出问题的隐患被隐瞒了下来,因此大家会觉得没问题.不过当时有一些其实并不懂经济学的人,利用特殊的方法,嗅出了问题.

比如巴菲特从直觉出发,觉得那些金融衍生品刻意包装,一定是为了掩盖很多真相,坚决不参与那场赌博.像这样的投资人并不少,其中最著名的是一个叫贝尔(Michael Burry)的医生,他数学很好,而且雇了一些数学家替他做事,靠坚守数学上的一些基本道理,成为那场豪赌中获利最丰厚的赢家.

贝尔他们的逻辑其实很简单,就是我们常常说"复利"增长从数学上讲是无法长期为继的.比如说,财富每年增长7%,这个速度在很多人看来并不算快,但是如果两千多年前的陶朱公以及他的后人能维持这个财富增长速度,哪怕当年他只留下一个铜板,今天他的传人所拥有的铜钱的数量要超过宇宙中的原子的数量,这在现实中当然不可能.

做投资的人都清楚,在一开始投资基数较小的时候,能够维持指数增长,一旦基数变大,就做不到了,还不切实际地想维持,就是拆东墙补西墙的庞氏骗局了.

很多人觉得自己足够聪明不会上庞氏骗局的当.但是变相的庞氏骗局要识破就没那么容易了.2008年金融危机中的罪魁祸首CDS,就是奸商们包装的一个不容易看懂的庞氏骗局,接下来我们就来说说它.

我们知道2008年金融危机的原因是美国房屋的次级贷款出了大问题,那它和CDS有什么关系呢?别着急,我们从次级贷款说起,然后你就明白什么是CDS了.

让我们先回到克林顿当总统的时代.那时,克林顿政府为了让本来付不起首付的穷人也能买房子,允许银行提供购房首付的贷款.比如100万的房子,通常需要贷款80万,首付20万,但是假如有一个人叫林肯,他没钱支付首付,当时除了允许他把房子先抵押了,从A银行获得正常的80万贷款,还允许他以较高的利息从B银行获得首付20万的贷款.

如果房价一直上涨,这没有问题,因为即使林肯付不起月供了,A银行也可以通过变卖房子收回自己的80万贷款,剩余的钱,还够B银行也能拿回自己的20万.B银行提供的就是次级贷款,由于它的风险显然比A银行大,因此利率也高,这样如果有个别几个人的贷款拿不回,它也能从其他购房者偿还的利息中填补漏洞.

当然,B银行还有一个更稳妥的做法,就是从高利息(比如每年10%)中拿出一部分(比如1%),向C保险公司购买贷款者违约的保险.

保险公司C根据历史数据发现房屋贷款收不回来的情况很少,只占房贷的2%左右,而它从B银行可以连续挣15年的钱(不考虑复利的因素),15年下来,担保10亿的房产就能收入1.5亿,成本只有2000万,这利润率高达650%的事情保险公司自然就答应了.

接下来,投资银行D看到C公司做了这样一笔好买卖,非常眼红,就和C商量将这10亿美元的保险生意卖给自己,并愿意留给C公司20%的好处,即3000万美元.C公司想,1.5亿虽然多,但是要承担15年的保险义务,不如一次性得到3000万实在,就答应了.

D公司是投资银行,更精明,将C公司为B银行作担保的业务,包装成证券,叫做CDS(信用违约交换),加价3000万美元卖给了另一家投资银行E.E公司可能将各种类似的CDS又打了一个包,以新的证券形式在市场上市了.

就这样,在经过无数次包装后,CDS的内部结构大部分人已经看不懂了,但是人们总觉得自己可以从下家身上赚到钱.于是一同把CDS炒到了50万亿美元这么大的规模,这甚至超过当时美国房市本身的总值.

这个骗局的本质是什么呢?就是大家炒来炒去,都是在赌一件事,就是今后15~30年,房价会一直快速上涨.

然而,房价不可能永远快速上涨,特别是在经济本身没有上涨的前提下.一旦有大量房主还不上钱,或者不愿意还钱,这些CDS就变得一钱不值.更糟糕的是,给购房者提供次级贷款的银行,后面的保险公司以及很多购买了CDS的投资银行也都完蛋了,整个金融体制就垮了.

这件事可以通过数学算出来,其实不只是刚才提到的贝尔,当时有不少人在CDS的骗局破灭之前,发现了问题,后来挣到了大笔的钱.只不过贝尔挣钱的比例太高,他的故事后来被拍成了电影<大空头>,他从此成为了名人.

接下来我们就说说什么叫做具有数学的思维.它不是指算小账算得清楚,而是说善于基于数学知识,使用逻辑发现问题,或者预见到不得不做的事情.我们在生活中,有时不得不面对非常复杂的问题,里面有很多噪音难以一一滤出,这时就需要掌握一种工具让我们能够不受噪音影响作出正确的判断.而数学常常是我们可以信赖的工具.

下面我和你分享一个我的经历.有一次在一个由政府组织的关于"一带一路"的座谈会上,几位领导问我,"吴教授,咱们关起门来讲,中国输出了那么多资本,最后钱能回来么?"

我说,挣得回来,挣不回来,我不知道,因为这里面牵扯太多的因素.但是资本输出和帮助其它国家富裕这两件事都必须做,我可以从数学证明这两件事的必要性.他们很好奇这件事和数学有什么关系,于是我继续讲:

中国在过去的四十年里,实现了每年8%的指数增长,除了中国人勤劳勇敢.另外有两个数学上的原因,一是因为最初的基数小,能够持续高速增长.二是过去国内市场空白一片,供不应求,国际上其它国家人均财富,比中国高很多,相比中国过去的生产能力,购买力近乎无限.

但是40年后的今天,中国人均GDP已经达到了世界的平均水平,总的经济体量已经世界第二,占全世界的18%.那么中国还能不能维持过去的增长速度呢?从数学上讲,根本做不到.

我们就假定中国经济能够按照每年6%的速度增长,这个速度虽然比过去慢了一点,但是比全世界3%的平均水平快很多.再过40年,中国GDP大约能增长10倍.而全世界经济增长的速度只有3%左右,再扣除中国的贡献,中国以外的国家和地区的增速只有2.34%左右,这样增长40年,只能增长1.5倍左右,那时中国GDP大约占到全世界50%.

这时候矛盾就出现了,中国以外有全世界4/5以上的人口,总的财富仅仅和中国一样多.那时,全世界都没有足够的财富买得起中国不断制造的产品和不断提供的服务.这时只有两个办法,一个是提高世界其它地区的购买力和经济增长,另一个是让中国经济增长降到世界的平均水平.

后者显然不是我们想要的,于是借钱给其它国家购买中国的产品和服务,当然中国可以换得一些战略资源,同时让世界其它国家也维持足够高的经济增长,以便它们能维持购买力,并且还得起钱,就是中国不得不做的事情了.而这就是"一带一路"要实现的目标.至于投资和贷款能否拿得回来,那要看操作的水平了.

在历史上,19世纪的英国,二战后的美国,以及80年代的日本,都是资本输出国,因为你不输出资本,大家就买不起你的东西,而你也就无法维持体面的经济增长.中国10年前不提"一带一路"的事情,一是因为还没有必要性,二是因为自己的钱不多;近几年才提出,是因为今天中国正好从处在人均GDP低于世界平均水平到变成高于平均水平的转折点上.因此在商业和资本两个层面全球化就变得迫在眉睫了.

我们在生活中,常常说"算笔账"这三个字.其背后其实就是说基于一些事实,用数学这个工具来考量,发现问题.为什么数学思维可以很容易地发现问题呢?因为我们常常用到在数学证明中的工具:矛盾律.

就是说一个事物不能既有A属性,又没有A属性.比如我们上一讲在证明√2是无理数时说到,如果它是有理数P/Q,那么P和Q这两个整数,既不能同时是素数,又必须同时是偶数,这就违背了矛盾律.同样,中国既不可能拥有全世界所有的财富,还让世界其它地区买得起中国的商品,这也违背了矛盾律.

要点总结:

通过数学的思维方式,发现生活中的问题,看清我们必须采取的行动,这就是学习数学的意义所在.这既可以被看成是认知的升级,也可以被认为是掌握了数学原理之后的灵活应用.

当然,数学有很多它做不到的事情,下一讲我们进一步讲讲数学思维的边界.

五 从毕达哥拉斯定理到费马大定理

你好,欢迎来到我的<数学通识50讲>.

我们前面讲了数学的预见性,以及数学思维的用处,但是这讲我想和你谈谈数学的局限性,大家可能会有一个疑问,就是这种局限性是来自于我们自己的数学知识不够,还是来源于数学本身的局限性呢?

应该讲这两方面的原因都有,第一部分因素在大家听完这门课后会补上很多,不用担心;第二部分则是我们这一讲要讲的内容.我们有必要了解数学本身的局限性,才能更好地使用它的原理和思维方式.今天我们还是从毕达哥拉斯定理的推广说起.

在几何上有很多整数组满足毕达哥拉斯定理,它们就是勾股数,比如(3,4,5),(5,12,13)等.从代数上解释勾股数,就是方程a^2+b^2=c^2的整数解.

当然,人类总是很好奇,人们就在想,如果上面方程中的平方变成立方,甚至任意N次方,它还有整数解吗?比如,是否有三个整数a,b,c,使得,a^3+b^3=c^3?

这个问题困扰了人类几千年.后来有一个叫费马的数学爱好者就提出一个假说,说除了平方的情况,其他更高次方的方程都找不到整数解,它被称为费马大定理(或者费马最后定理).

虽然它被称为定理,但数学家们只是把它看成是猜想,或者假说,因为没有证明.我们前面讲到,猜想,哪怕用很多数据验证过了,只要没有证明,就无法成为数学大厦中的一块砖,就无法在它的基础上搭建新的东西.

因此,在费马之后的几百年里,很多数学家都试图证明它,但是都不得要领.费马自己说他已经证明了这个定理,只是那张纸不够大写不下,但后人认为是费马搞错了.

于是费马大定理就成了一道跨越了三个多世纪的超级难题.直到1994年,才由著名的英国旅美数学家怀尔斯证明出来,而这个过程也是一波三折.

1986年,怀尔斯在做了十多年的准备后,觉得证明费马大定理的时间成熟了,终于决定将全部精力投入到该定理的证明上了.为了确保别人不受他的启发率先证明了这个著名的定理,他决定在证明出这个定理以前不发表任何关键性的论文.

但是,如果一个人苦思冥想,推导的逻辑错了自己也看不出来,为了避免这种情况的发生,怀尔斯利用在普林斯顿大学教课的机会,不断地将自己部分的想法作为课程的内容讲出来,让博士生们来挑错.

1993年6月底,怀尔斯觉得自己准备好了,便回到他的故乡英国剑桥,在剑桥大学著名的牛顿研究所举行三场报告会.为了产生爆炸性的新闻效果,怀尔斯甚至没有预告报告会的真实目的.因此,前两场报告其实人不多,但是这两场报告之后,大家都明白接下来他要证明费马大定理了.

于是在举行最后一场报告时,牛顿研究所里挤满了人,据估计可能只有1/4的人能听懂讲座,其余的人来这里是为了见证一个历史性的时刻.

很多听众带来了照相机,而研究所所长也事先准备好了一瓶香槟酒.当怀尔斯写完费马大定理的证明时,很平静地说道:"我想我就在这里结束",会场上爆发出一阵持久的鼓掌声.这场报告会被誉为了20世纪该研究所最重要的报告会.

不过故事到此并没有结束,数学家们在检查怀尔斯长达170页证明的逻辑之后,发现了一个小漏洞.怀尔斯开始认为这个小漏洞很快能补上,但是后来才发现这个小漏洞会颠覆整个证明的过程.

怀尔斯又独立地工作了半年,但毫无进展,在他准备放弃之前,向普林斯顿大学的另一个数学家讲述了自己的困境.对方告诉他,他需要一位信得过的,可以讨论问题的助手帮忙.

经过一段时间的考虑和物色,怀尔斯请了剑桥大学年轻的数学家泰勒来一同工作,最后在泰勒的帮助下怀尔斯补上了那个小漏洞.由于有了上一次带有乌龙性质的经历,怀尔斯这次有点怀疑自己是在做梦.于是他到外面转了20分钟,发现自己没有在做梦,这才喜出望外.

由于怀尔斯在证明这个定理时已经超过了40岁,无法获得菲尔兹奖,因此国际数学大会破例给他颁发了一个特别贡献奖,这也是迄今为止唯一一个特别贡献奖.关于费马大定理证明过程的更多细节,大家可以听罗辑思维的第85期节目.

那么证明这个古老的数学难题有什么意义呢?这个定理证明过程本身导致了很多数学研究成果的出现,特别是对于椭圆方程的研究.今天区块链技术用到的椭圆加密方法,就是以它为基础的.

在怀尔斯之前,有一批数学家,特别是日本的谷山丰,对这一系列理论做出了重大的贡献,怀尔斯的成功是在他们的工作基础之上的.今天的比特币可以讲完全是谷山丰理论的一次有意义的应用.而在怀尔斯之后,泰勒等人还在不断发展这方面的理论.

对于三个世纪数学家们证明费马大定理的过程,我和大家分享我的三点体会:

今天的数学(指纯粹数学,不是应用数学)真的很难,想在这方面取得突破性贡献不容易,怀尔斯从10岁开始就立志解决这个问题,他努力了30年.他最后的证明长达200页.但是,有了理论,使用它做有意义的事情,还是容易得多.比特币就是一个很好的例子.

数学是世界上最严密的知识体系,任何的推导不能有丝毫的纰漏.怀尔斯差点因为一个小的疏忽毁掉了整个工作,希望通过这一点,大家对数学的严密性有所体会.

数学走到今天这一步,是在一个个定理的基础上一点点搭建起来的,而今天的成就,又为明天的发展奠定了基础,这样数学就获得了可叠加的进步.

毕达哥拉斯定理是,a的平方+b的平方=c的平方的情形.费马大定理是,a的N次方+b的N次方=c的N次方的情形.因此,前者是起点,后者是一个普遍情况的延伸.接下来,如果我们沿着毕达哥拉斯定理和费马大定理继续往前拓展,会是什么情况呢?

比如任意一个多项式方程2x^2 + 3 y^3 = z^4,或者 x^2 + 3 y^3 - w^5 = z^4,请问它们有没有整数解?这个问题就是著名的希尔伯特第十问题(简称第十问题).

对于任意一个多项式方程,我们能否在有限步内,判定它是否有解?

对于一些特例,我们知道有整数解,比如x^2 + y^2 = z^2就有;对于另一些特例,我们知道没有整数解,比如费马大定理所描述的情况.

但是,对于更多的,一般性的不确定方程,我们不仅不知道怎么解,甚至无法判断一个方程有没有整数解.因此,1900年在巴黎举行的国际数学大会上,希尔伯特在提出23个著名的数学问题时,把它列为了第十个.

第十问题其实隐含了一个更为深刻的认识论问题,就是对于大部分数学问题,我们能否找到答案?到目前为止,我们所能解决的数学问题其实只是所有数学问题中很小的一部分.

当然,很多人会说尚未找到答案不等于没有答案.第十问题实际上在直接挑战数学的边界,也就是说,通过数学的方法,我们可能根本无法判断一些问题的答案存在与否.如果连答案是否存在都不知道,就更不用说通过数学的方法解决它们了.

这样就为数学划定了一个明确的边界.从1900年之后,特别是在二战之后,欧美不少数学家致力于解决这个问题,因为这也涉及到计算机所能处理问题的边界.

第十问题的解决颇具戏剧性.在上个世纪60年代,被认为最可能解决这个难题的是美国著名的女数学家朱莉娅·罗宾逊,她从博士一毕业就致力于研究这个问题,也取得了很多突破性的进展.

虽然罗宾逊因为这方面的贡献成为了美国科学院第一位女院士,美国数学学会第一位女会长,她离解决这个问题最终还是差几步.1970年,俄罗斯天才的数学家尤里·马季亚谢维奇在大学毕业后一年就解决了这个问题,证明了这类问题是无解的,从此在世界上一举成名.

纯数学这个学科除了需要一些运气之外,比拼的是人的智力,智力到哪个程度,成就就到哪个水平,这倒不是宿命论,而是说明人要根据自己的特长选择做事.

第十问题的解决其实扑灭了人类的一丝希望,但是也让人类老老实实地在边界内做事情.人类过去常常希望找到一个工程问题的解析解,即答案是以一个公式的形式存在,这样套入任何数字,就得到了具体的答案.

但是,很多问题最后证明找不到严格推导出来的解析解,当然这也不妨碍大家在工程上可以使用近似的数值解,解决实际问题.认清这一点,做事的方法也就改变了.

搞流体力学和控制理论的人都知道,那里面有很多复杂的非线性方程要解决.在上个世纪,美苏两国走了两条不同的道路.前苏联因为数学水平较高,而计算机技术很落后,因此他们习惯于下硬功夫做很难的数学题,找到非线性问题的解析解.

而在美国方面,数学水平高的人没有前苏联多,但是计算机技术先进,因此他们习惯于把很麻烦的非线性问题变成很多计算量大,但是却很简单的线性问题(或者其它数值计算问题),找到工程上能接受的近似解.

那么谁取得的效果好呢?从结果来看,美国似乎更好些.关于什么是线性方程,我们后面会讲到,这里大家记住线性方程简单,非线性方程非常复杂即可.

要点总结:

我们介绍了费马大定理的来龙去脉,它往前和毕达哥拉斯定理的关系,往后和希尔伯特第十问题的关系.我也和大家分享了我对这个定理被证明过程的体会.

我们通过希尔伯特第十问题介绍了数学的边界,这是一个硬的边界,大家不要试图逾越.但是数学的边界有些时候不是我们解决问题的边界,因为世界上除了数学的方法,还有其他方法.

到目前为止,我们以毕达哥拉斯定理的产生和发展为线索,介绍了数学猜想到数学公理的推导过程,接下来的两讲,我们还是以毕达哥拉斯这个人为线索,谈谈数学的应用,以及在其它知识体系中的位置.

我们下一讲再见.

六 毕达哥拉斯如何连接数学和美学

1.

我们先来看一张照片,感受一下黄金分割.

所有图片略

这是雅典卫城的帕特农神庙,它无论是在艺术史上,还是建筑史上地位都很高,如果你度量一下它正面的宽与高(还原已残破的屋顶高度),正好符合我们所说的黄金分割.

黄金分割大家并不陌生,你可能还会说出它的比例大约是1:0.618,也就是1.618.其实不仅帕特农神庙本身和里面很多雕塑的关键比例符合黄金分割,著名的雕塑<断臂的维纳斯>,它的身高和腿长的比例,腿和上身的比例也都符合黄金分割.符合这个黄金比例的雕塑或建筑就看上去很顺眼,很美观.

那么黄金分割是如何确定的呢,这个比例为什么看起来顺眼呢?简单地讲,它的美感来自几何图形的相似性.

比如我画了一个符合黄金分割的长方形,它的长度是X,宽度是Y.如果我们用剪刀从中剪掉一个边长为Y的正方形(也就是图中灰色的部分),剩下来的长方形,长宽之比依然会符合黄金分割.

当然,我们还可以继续剪掉一个正方形(图中绿色的部分),剩下的长方形(图中透明的部分)的长宽依然会符合黄金分割的比例.

也就是说,如果我们这样不断地切下去,剩余部分都是成同一比例的.

黄金分割的这个比例很容易算出来.根据黄金分割上述的相似性质,我们可以很容易算出来X/Y的比例是1.618左右,更精确地讲是(√5+1)÷2,这是一个无理数,通常用希腊字母Ф来表示.

2.

黄金分割为什么漂亮?

除了在几何上层层相似,也反映了自然界的物理学特征.

如果我们把刚才图中的长方形不断做切割,然后将每个被切掉的正方形的边用圆弧替代,就得到了这样一个螺旋线.

由于这个螺旋线每转动同样的角度,得到的圆弧是等比例的,因此它也被称为等角螺线.

如果你对比这个螺旋线和下面鹦鹉螺的壳,是否觉得很相似?

不仅如此,龙卷风乃至银河系这样星系的形状都是如此.

需要指出的是,这不是巧合,而是因为任何东西如果从中心出发,同比例放大,必然得到这样的形状.

或许正是因为黄金分割反映了宇宙自身的一个常数,我们对它才特别有亲切感,所以哪个建筑或者画作如果有意无意满足了这个条件,它就显得特别美.除了帕特农神庙,埃菲尔铁塔等建筑的主要尺寸的比例,也正好符合黄金分割,甚至符合等角螺旋线.

类似的,<蒙娜丽莎>的主要结构部分也可以对应一条等角螺旋线.需要说明的是,无论是帕特农神庙的设计者,还是达·芬奇或者埃菲尔,他们都知道黄金分割,并且刻意使用了这个比例.

3.

最先提出黄金分割的人是谁呢?古埃及人似乎早在4500年前就知道了这个比例的存在,因为大金字塔从任何一个面看上去,其正切面的斜边长和金字塔高度之比正好是黄金分割的比例.

当然,没有证据表明他们算出了精确的比例公式,因为他们不知道有无理数存在.

今天一般认为,算出黄金分割公式的还是毕达哥拉斯.虽然相传毕达哥拉斯是在一次听到一个铁匠打铁和谐而动听的声音后,研究出了黄金分割,但是我觉得这种说法缺乏依据.

大家更认可的说法是,毕达哥拉斯学派的人在做正五边形和五角星的图形时,发现了黄金分割的比例.在正五角星中,每一个等腰三角形的斜边和底边的比例都是黄金分割1.618.

我们刚才说毕达哥拉斯还可能是从铁匠的打铁声中获得了黄金分割的启发,但是无从考证,不过毕达哥拉斯学派利用数学指导音乐是真实的事情.

毕达哥拉斯认为,要产生让人愉快的音乐,就不能随机在连续的音调中选择音阶,而需要根据数学上的比例设计.音乐上的1234567,听着很舒服吧,你知道是怎么来的吗?

首先,人们发现两根琴弦,如果它们的长度比是2:1,它们所奏出来的音高就相差一个八度,比如高音1的音高就比中音1的高了一个八度,它们音高的频率之比也就是2:1.

接下来,将中音1和高音1之间的这个八度按照4:3和3:2的比例分割,就得到了4(fa)这个音.在1到4之间,还能够分成两个整声调,于是得到了2(re)和3(mi),在4到高音1之间,可以被分为三个整声调,于是得到了5(sol) 6(la) 7(si).你看,这样我们就得到了按照比例设计的好听的乐音了.

如果不按照比例分配音节是什么结果呢?我们听到的声音就如同噪音,而不是有规律的乐音.今天对耳蜗的解刨学研究发现,耳蜗的形状其实也是螺旋线的,和黄金分割的螺旋线非常吻合.这可能是按照黄金分割设定音律后,声音悦耳的原因.

4.

毕达哥拉斯和他的学派对音乐和美学的影响一直影响到柏拉图和亚里士多德,以及后来诸多文艺复兴的学者.

数学不仅和音乐密切相关,也对建筑和绘画艺术产生了重大的影响.我们看从文艺复兴时期开始,到19世纪浪漫主义时期的西方油画,都会惊叹于它们的逼真.

这个逼真的效果从哪里来?它源于艺术家们使用单点透视的方法,成功地将三维形象绘制到一个二维平面上.当然,这个绘画技术不是一天发明的.

其实,早在古希腊时期,人们就发现了远处景物显得小,近处的显得大这样的特点,并且将这种特点反映到绘画中了,他们把这种方法叫做短缩法.但是,古希腊人并不知道物体在离开我们远去时,该遵循什么数学法则进行缩小.

到了文艺复兴时期,佛罗伦萨的画家乌切洛沉溺于使用几何学技术将绘画变得逼真,在他为美第奇家族绘制的<圣罗马诺之战>中,我们可以看到明显采用透视法炫技的痕迹.

大家可以仔细看看地上倒下的战士和旁边的长矛,都指向远方的消失点.他用透视法为绘画构建了立体的舞台.不过,如果你仔细看,会觉得这幅画中有不少别扭的地方,因为这幅画好像不止一个透视的方向.

那么是谁真正解决了透视法中的数学问题,并且将这种技巧给予了广大艺术家的呢?是文艺复兴时期大名鼎鼎的建筑师和工程师布鲁内莱斯基,今天佛罗伦萨的圣母百花大教堂就是他的杰作.

布鲁内莱斯基所发明的单点透视法,完全符合我们视觉应有的几何学原理,具体讲就是相似三角形的原理,因此按照这样的方法画出来的画就非常逼真.下面我们就从视觉中的几何学原理出发,简单介绍一下单点透视法.

假定我们前方100米和500米处各有一棵大树,它们都是50米高.我们知道近处的树在我们的眼睛里显得高,远处的显得小.那么看起来,它们的比例到底该是几比几呢?简单地讲,就是应该和距离成反比,即100米处50米高的树,放到500米处,应该显得只有10米高.

如果放到无穷远处,则应该是0米高,也就是地平线上的一个点.对于其他的距离,我们看到的高度也是同样和距离成反比.这样,如果我们把各个距离之处50米高的大树连城一条线,就是我们得到的透视的视觉效果了.

下图是我在电视剧<权力的游戏>的外景地(北爱尔兰)拍的照片.从照片可以看出,所有相同大小的景物,按照远近的比例缩小,在远处汇聚到一点.

理解了我们视觉的数学原理,就可以利用它创造出不同的艺术效果.比如在现实世界里,我们看到的是单点透视,因为人的眼睛不可能同时往两边看,但是我们可以在艺术创作中采用两点和多点透视.

下图是两点透视的效果,景物消失在一左一右两点上.我们通常目光只能集中在一个方向,看不了这么广的视角,但是你如果用鱼眼镜头拍照,就能拍出这样的效果.

5.

最后总结一下,其实今天我是在和你解释数学的用途.

数学和艺术,以及其他的知识体系有着千丝万缕的联系,我们以黄金分割和透视法为例子介绍了这种关系.了解一些基本的数学知识和方法对我们做其他事情有很多好处.

当然,有些人会讲,我们学不会那些数学上的道理啊,没关系,有些方法你只要记住就好.