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书名:《向量及其应用》(张惠英 严士键)

  • 第一章 向量产生,发展的历史背景与教育价值
  • 2 向量产生的历史背景
  • 8 向量教学的教育价值
  • 第二章 平面向量
  • 12 标准要求及知识结构
  • 20 教学建议
  • 25 教学案例及点评
  • 27 向量加法
  • 35 实数与向量的积
  • 41 平面向量基本定理
  • 47 平面向量的数量积及运算律
  • 第三章 空间向量
  • 56 标准要求及知识结构
  • 60 教学建议
  • 65 教学案例及点评
  • 65 空间向量及其加减与数乘运算
  • 69 空间向量基本定理
  • 74 空间向量的坐标运算
  • 第四章 向量方法在数学诸分支及物理中的应用
  • 80 向量在平面几何中的应用
  • 90 向量在解三角形及三角函数运算方面的应用
  • 98 向量在平面解析几何中的应用
  • 106 向量在解决代数不等式问题中的应用
  • 116 向量在建立空间直线与平面方程方面的应用
  • 125 向量在立体几何中的应用
  • 145 向量在物理中的应用
  • 第五章 向量知识的深化与提高
  • 158 向量的另一种乘法-向量积
  • 161 三个向量的混合积
  • 163 向量积在平面几何和立体几何中的应用
  • 169 空间中平面和直线的向量方程
  • 176 利用向量来研究空间中的曲面和曲线
  • 179 对向量的进一步认识
  • 186 附录 二阶和三阶行列式

向量

既有大小又有方向的量叫向量(矢量),大小与方向结合起来看是一种新想法 (2页)

例如:位移,速度,力,电场强度

虚数

规定i^2=-1,i是虚数单位. (3页)

例如虚数5写出来是5i

复数几何表示

任意一个复数都可与平面上一个点或一个向量一一对应. (3页)

在找到虚数的几何表示后,在这个几何平面上把虚拟和实数统一了,叫复数这个平面如下.x轴是实数,y轴是虚数.复数表示为a+bi,其中a是实数,b是虚数

下图红色线,由O点开始的线段就是复数 a+bi

复数与向量

平面向量与复数成一一对应,从而向量可以借助复数进行加减乘除四则运算,而且这些运算都有清晰的几何意义,加法符合平行四边形法则

,乘法相当于对向量作旋转及伸缩长度的几何变换,这是平面向量理论的理想模式

运算法则

复数a+bi与c+di的运算,先将复数写法中的i去掉,直接写成(a,b)(c,d) (3页)

加法 (a,b) + (c,d) = (a+c,b+d)

减法 (a,b) - (c,d) = (a-c,b-d)

乘法 (a,b) * (c,d) = (a*c-b*d,a*d+b*c)

除法 (a,b) / (c,d) = ((a*c+b*c)/(c^2+d^2),(b*c-a*d)/(c^2+d^2))

加减法可看成是实数部分相加减,虚数部分相加减,乘法与除法太复杂不懂

示例

加法: (3,5)+(14,3) = (3+14 , 5+3)

减法: (14,7)-(3,5) = (14-3 , 7-5)

乘法: (14,7)*(3,5) = (14*3-7*5 , 14*5+3*7) (两个向量相乘,结果不是向量,这里只是按结果值,画出来)

下图红线是乘法结果,比例缩小了100倍,否则线太长,显示不出

除法: (14,7)*(3,5) =( (14*3+7*3)/(3*3+5*5) , (7*3-14*5)/(3*3+5*5) )

下图红线是除法结果,比例扩大了100倍,否则线太小,显示不出

独立分支

向量作为独立数学分支研究,(吉布斯),3维向量v写法 v=ai+bj+ck, a,b,c是实数,i,j,k是x,y,z轴上的单位向量

n维向量

n维向量是由n个有序实数构成的一个实数组 a=(a1,a2,..an) (5页)

从直线,平面到立体,可以发现,实数a对应直线,只有一个维度.复数a+bi对应平面,有两个维度.复数a+bi+cj对应立体空间,是3维的

那么自然可以有n维,a+bi+cj+dk+..+nn,

德国数学家格拉斯曼提出n维向量的概念,他定义了两个n维向量的两种乘积,数量积和向量积,还有向量长度,两个向量夹角

向量 a = (x1,x2,...,xn) 向量 b = (y1,y2,...,yn)

数量积 a*b = (x1*y1,x2*y2,...,xn*yn)

长度 |a| = sqrt(a*a) = sqrt(x1^2+x2^2+...+xn^2)

a,b夹角 cosA = a*b / (|a|*|b|) ,将上面的长度和数量积带入这个公式,就能求出cosA.

两个n维向量的夹角 |cosA|<=1 这就是"柯西不等式"

线性代数

能用n个有序实数组,确定某个事物的状态的,都可以理解为n维空间的一个向量,或者n维向量空间的一个点

以n维向量理论为基础的数学学科"线性代数".是必修课,哎,上大学时学了这门课,却不知道原理.

数学思想方法

向量学科的形成和发展是一个不断观察现实世界和提出问题,分析问题和解决问题的过程.这说明数学思想与方法本身就是面对社会发展

服务于社会发展的.几千年积累形成的一套数学思想方法将继续促进社会的发展.因此,学习数学除了要学习具体的数学知识外,更重要的

是要学习解决问题的思想方法,把握数学思想方法才可能真正的学好数学

数形结合

向量是数形结合的桥梁 (9页)

平面向量知识结构

向量是代数的运算

平面向量可以进行加减乘除,就像代数运算那样,运算的结果任然是向量 (13页)

平面向量是几何的对象,借助解析手法将其代数化,这样,向量以及向量的运算就可以坐标化了 (14页)

平面向量运算特点,没有结合律,没有消去律 (24页)

加法与减法

平面向量加法 (27页)

向量加法在物理上叫矢量的合成

三角法 ab+bc=ac,适用于从一点出发的向量,最终指向终点.(首尾相连,连接首尾,指向终点)

也可用于共线向量,例如,ab,bc是一条线(共线)的情况

平行四边形法 oa+ob=oc,适用于多个向量从一点出发.(共起点 对角连)

oc(c,y)的坐标可以使用向量加法求得.设oa(x,y),ob(x,y),那么oc.x = oa.x + ob.x , oc.y = oa.y + ob.y 即坐标相加就是oc的坐标

如果不共点,可以平移到共点,再使用平行四边形法则

那么减法就是坐标相减 oc.x = oa.x - ob.x , oc.y = oa.y - ob.y 注意oa - ob与ob - oa的结果大小相等但方向是不同的

注意oc,oc1两个向量是共线的,并且与oa,ob的连线AB(虚线部分)是平行的.从向量的意义上讲,oc与BA是相等的,因为大小相等,方向相同

所以,oa - ob = BA 减法注意两个情况,oaob有共同起点.oa-ob的结果BA,可认为是ob终点指向oa终点的向量.

大小在几何上看则是ab两点间的距离

乘法

向量数量积表 (53页)

两个向量相乘之后,得到一个标量,不再是向量了.两向量乘法还叫做:数量积,点乘,纯量积

oa * ob = oa.x * ob.x + oa.y * ob.y

数乘向量:向量和实数的乘法

几何讲解 (38页)

向量a与实数Y相乘,a*Y,如果Y小于0则结果与a方向相反,大于0则方向相同.大小都是a的Y倍.如果Y=0,则结果是0向量

简单的讲,得到一个和原向量共线的新向量

几何意义,把向量沿着原方向(用正数乘向量)或反方向(用负数乘向量)伸长或缩短

不等式

向量不等式 (116页)

向量进阶认识

向量不等式 (179页)


平面向量相关概念

有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,以A为起点,B为终点的有向线段AB

向量的模:有向线段AB的长度叫做向量的模,记作|AB|

零向量:长度等于0的向量叫做零向量,记作0

相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.如下图,三个向量相等

平行向量或共线向量:两个方向相同或相反的非零向量叫做平行向量或共线向量.

单位向量:模等于1个单位长度的向量叫做单位向量,通常用e表示

相反向量:与a长度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量,-(-a)=a,零向量的相反向量仍然是零向量.

平面向量基本定理

如果两个向量a,b不共线,那么这平面内任何向量p:存在唯一实数对x,y使 p = xa + yb (x,y不全为零)

另一种讲法,同一平面内任何一个向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合.(这定理是平面向量正交分解和坐标表示法的基础)

坐标表示方法

正交分解: 在两个互相垂直的方向分解

向量a(x,y)坐标表示原理是根据"平面向量基本定理"得来的.基本定理如下:

当且仅当存在一对常数(x,y),使得c=xa+yb时,a,b,c三个向量共面.

很不好理解这定理,其本质是一种向量的分解.看下图向量a,它的坐标ax,ay也是两个向量,而向量a正是这两个向量的和,也就是说a"分解了"

根据向量加法(平行四边行法则,三角形法则),Oa=Ox+Oy,根据上面的定理,(x,y)是有且只有一对的(同平面内,且OxOy相互垂直时)

这样的唯一一对(x,y)值可以在平面内表示向量a.这是向量和平面几何的一种联系

数量积

a*b = |a|*|b|*cosA

两个向量的数量积是数量,而不是向量

数学向量与物理矢量的区别

矢量:位置,大小,方向 . 向量:大小,方向 物理的矢量比较具体,数学的比较抽象

向量积

aXb = |a|*|b|*sinA 向量积的结果是向量,其方向垂直于a,b所在的平面

满足运算律 (158页)

a X b = - b X a 反交换律.向量积结果的方向垂直于a,b所在平面,方向相反.a X a =0,自身的向量积为0

(Ra) X b = R(a X b) R=实数

c X (a+b) = c X a + c X b 分配律

向量特征

  1. 向量既有大小又有方向
  2. 向量与数量不相等,向量与数量不能加减运算
  3. 向量的模|a|>0,|a|是数量
  4. 两个向量的数量积是数量,不是向量
  5. 两个向量的数量积为0,两个向量中不一定有零向量
  6. 向量的数量积不存在结合律
  7. 数量满足削去率,ac=bc(c不为0) 可得 a=b ,向量不满足消去率,a*c=b*c 不能得出a=b
  8. 两向量平行 a(x1,y1),b(x2,y2) a // b 那么 x1*y2 - y1*x2=0 或者 x1:x2=y1:y2
  9. 两向量垂直 a垂直b 那么 x1*x2+y1*y2=0

应用

向量方法在数学和物理中的应用 (80页)

排序原理

同序的两个n维向量的数量积必大于两个n维杂序的数量积(杂序积),杂序积又大于反序积. (114页)

进一步认识

向量的代数运算规律本身就是几何定理 (179页)